توضیح:

در میان نکات زیر، گاهی از شما خواسته می شود فعالیتی را انجام دهید، مطلبی را تعریف کنید یا به سوالی جواب دهید. سعی کنید جواب را در متن کتاب بیابید. اگر در متن کتاب جواب سوال صراحتاً بیان نشده بود، سعی کنید خودتان به سوال مطرح شده پاسخ دهید و اگر نتوانستید از معلمتان بپرسید.


تعریف دامنه و توضیحات مهم در این زمینه:

اگر دامنه ی تابع حقیقی f به طور صریح داده نشده باشد و تنها ضابطه ی آن در دست باشد، منظور ما از جمله ی «دامنه ی تابع f را بیابید»، عبارت است از

«یافتن بزرگترین زیر مجمو عه ی R که برای هر x از آن مجموعه، (f(x عددی حقیقی باشد»، یعنی

.

با توجه به گستردگی تعریف بالا، هیچ راه کلی و قانون عمومی برای یافتن دامنه ی همه ی توابع وجود ندارد. در این جلسه، توابع مهم را در چند دسته خدمتتان معرفی می کنیم و برای درک بیشتر، از هر کدام مثالهایی خواهیم آورد. البته ممکن است با بعضی توابع در دسته بندی زیر آشنا نباشید. اگر به چنین مواردی برخوردید از مطالعه ی آن صرف نظر کنید؛ در جلسات بعدی آنها را معرفی خواهیم کرد.

نکات اصلی:

1. چند جمله ایها:
   
   اگر f چند جمله ای باشد، در این صورت دامنه ی آن R خواهد بود. به طور دقیق تر اگر
   
   
   
   
   آنگاه برای هر ، مقدار خروجی (f(x نیز عددی حقیقی است و لذا . به عنوان مثال دامنه ی همه ی 5 تابع زیر R است:
   
   
   
   (توجه کنید که اولین تابع در مثال بالا که تابع ثابت 1 است، نیز یک چند جمله ای است. هر عدد حقیقی را یک چند جمله ای در نظر خواهیم گرفت.)
   
   
2. توابع کسری
   
   برای یافتن دامنه ی توابع کسری، مراحل کلی زیر را انجام می دهیم:
   
   - دامنه ی صورت و مخرج را جداگانه محاسبه می کنیم.
   
   - اشتراک دامنه ی صورت و مخرج را به دست می آوریم.
   
   - اگر اعدادی که مخرج کسر را صفر می کنند وجود داشته باشند (ریشه های مخرج) آنها را از اشتراک به دست آمده در مرحله ی قبل حذف می کنیم تا دامنه ی تابع اصلی به دست آید.
   
   توضیح: در جلسات بعد، به این سوال پاسخ خواهیم داد که چرا باید مراحل بالا را برای به دست آوردن دامنه ی توابع کسری انجام دهیم.
   
   حال برای تمرین بیشتر، دامنه ی چند تابع کسری را به دست می آوریم.
   
   الف)
   
   بنابر نکته ی 1، دامنه ی صورت و مخرج هر دو R است. بنابر این اشتراک دامنه های صورت و مخرج نیز R خواهد بود. حال چون x=1 تنها ریشه ی مخرج است، لذا خواهیم داشت:
   
   
   
   
   ب)
   
   دامنه ی صورت و مخرج هر دو R است. بنابر این اشتراک دامنه های صورت و مخرج نیز R خواهد بود. حال چون x=2 و x=3 دو ریشه ی مخرج هستند، لذا خواهیم داشت:
   
   
   
   ج)
   
   دامنه ی صورت و مخرج هر دو R است. بنابر این اشتراک دامنه های صورت و مخرج نیز R خواهد بود. حال چون مخرج ریشه ندارد، لذا دامنه ی تابع h همان R است.
   
   د)
   
   دامنه ی صورت در قسمت (ب) به دست آمد. دامنه ی مخرج نیز بنابر نکته ی 1 برابر است با R. پس اشتراک دامنه ها برابر است با . اما x=-1 تنها ریشه مخرج است، در نتیجه .
   
   توجه: در مثال (د) نمی توان بدون دقت به اصطلاح با دور به دور-نزدیک به نزدیک کردن، تابع را ساده و سپس دامنه را محاسبه کرد، به طور دقیق تر، تابع مثال (د) با تابع برابر نیست. (چرا؟)
3. توابع رادیکالی با ریشه ی زوج:
   
   برای یافتن دامنه ی توابع رادیکالی با ریشه ی زوج، مراحل کلی زیر را انجام می دهیم:
   
   - دامنه ی تابع داخل رادیکال را محاسبه می کنیم.
   
   - تابع داخل رادیکال را تعیین علامت می کنیم، یعنی مجموعه ی همه اعدادی را به دست می آوریم که برای هر عدد از آن مجموعه، عبارت داخل رادیکال، نامنفی (برزگتر یا مساوی صفر) شود .
   
   - اشتراک دو مجموعه ی به دست آمده از مراحل بالا را محاسبه می کنیم، تا دامنه ی تابع اصلی به دست آید.
   
   حال برای تمرین بیشتر، به چند مثال زیر توجه کنید:
   
   الف)
   
   دامنه ی تابع زیر رادیکال، R است. اگر عبارت زیر رادیکال را تعیین علامت کنیم(به همان روشهایی که در فصل اول ریاضی 2 آموختیم)، نتیجه خواهیم گرفت که مجموعه ی همه اعدادی که عبارت داخل رادیکال را نامنفی می کند عبارت است از . بنابر این با محاسبه ی اشتراک R و نتیجه می شود: .
   
   ب)
   
   بنابر نکته ی 1، دامنه ی تابع زیر رادیکال، R است. اگر عبارت زیر رادیکال را تعیین علامت کنیم(به همان روشهایی که در فصل اول ریاضی 2 برای تعیین علامت عبارات درجه ی 2 آموخته ایم)، نتیجه می شود که مجموعه ی همه اعدادی که عبارت داخل رادیکال را نامنفی می کند عبارت است از . با محاسبه ی اشتراک R و نتیجه می شود: 
   
   ج)
   
   دامنه ی عبارت داخل رادیکال است. با تعیین علامت تابع زیر رادیکال، مجموعه ی همه اعدادی که این تابع را نامنفی می کند عبارت است از . حال با اشتراک و  نتیجه می شود: .
4. توابع رادیکالی با ریشه ی فرد:
   
   برای یافتن دامنه ی توابع رادیکالی با ریشه ی فرد، فقط کافی است دامنه ی تابع زیر رادیکال را به دست آوریم تا دامنه ی تابع اصلی به دست آید. (چرا؟) به طور مثال دامنه ی تابع با دامنه ی تابع برابر است و در نتیجه دامنه ی f برابر است با .
   
   
5. تابع قدر مطلق:
   
   دامنه ی تابع به وضوح R است. در حالت کلی، دامنه ی(قدر مطلق (g(x ) برابر است با دامنه ی تابع (g(x . به طور مثال دامنه ی تابع ( قدر مطلق ) با دامنه ی تابع ، یعنی ، برابر است.
   
   
6. تابع جزء صحیح:
   
   دامنه ی تابع برابر است با R . در حالت کلی، دامنه (جزء صحیح (h(x ) برابر است با دامنه ی تابع (h(x . به طور مثال دامنه ی تابع ( جزء صحیح  ) با دامنه ی تابع ، یعنی ، برابر است.
   
   
7. تابع لگاریتم:
   
   دامنه ی تابع برابر است با  اعداد حقیقی مثبت. (توجه کنید که a عددی مثبت و مخالف 1 است.) در حالت کلی، دامنه  ( a عددی مثبت و مخالف 1 ) برابر است با . به دو مثال زیر توجه کنید:
   
   الف)
   
   با توجه به نکته ی بالا، دامنه ی این تابع، x هایی در دامنه ی است که به ازای آن x ها داشته باشیم  . چون دامنه ی تابع ، همان R است، لذا با تعیین علامت تابع خواهیم داشت: .
   
   ب)
   
   پایه ی لگاریتم باید مثبت و مخالف ۱ باشد؛ در نتیجه x باید در تغییر کند. از طرف دیگر عبارت روبروی لگاریتم نیز باید عددی مثبت باشد (این عبارت را تعیین علامت کنید). بنابر این .
   
   
8. تابع نمایی:
   
   دامنه ی تابع برابر است با R (توجه کنید که a عددی مثبت و مخالف 1 است). در حالت کلی، دامنه  (a به توان (g(x ) برابر است با دامنه ی تابع (g(x . به طور مثال دامنه ی تابع ( 2 به توان  ) با دامنه ی تابع ، یعنی ، برابر است.
   
   
9. توابع مثلثاتی:
   
   - دامنه ی دو تابع (sin(x و (cos(x برابر است با R.
   
   - دامنه ی تابع (tan(x برابر است با.
   
   - دامنه ی تابع (cot(x برابر است با .
   
   
10. توابع معکوس مثلثاتی:
    
    - دامنه ی (Arcsin(x (یا ) و (Arccos(x (یا ) برابر است با .
    
    - دامنه ی (Arctan(x (یا  ) و تابع (Arccot(x (یا  ) برابر است با R.
    
    
11. توابع چند ضابطه ای:
    
    برای محاسبه ی دامنه ی توابع چند ضابطه ای، کافی است اجتماع دامنه های تک تک ضابطه ها را که معمولا روبه روی آن نوشته می شود، محاسبه کنیم. به ۴ تابع زیر توجه کنید و سعی کنید با استفاده از نکته ی گفته شده، دامنه ی آنها را به دست آورید.
    
    

    

    - برای دیدن دامنه ها اینجا را کلیک کنید.
    
    
12. مهم: توابعی که به صورت حاصل جمع یا حاصل ضرب چند تابع دیگر هستند
    
    برای محاسبه دامنه ی این توابع، ابتدا دامنه ی تک تک توابع موجود در آن را محاسبه و سپس اشتراک همه ی این دامنه ها را حساب می کنیم تا دامنه ی تابع اصلی به دست آید. برای مثال، دامنه ی توابع زیر را به دست آورید:
    
    الف)
    
    جواب:
    
    ب)
    
    جواب:
    
    ج)
    
    جواب: (بنابر این دامنه ی این تابع، مجموعه ی تک عنصری است.)
    
    د)
    
    جواب: (بنابر این دامنه ی این تابع، تهی است. چنین توابعی را معمولاً تابع تهی گوییم.)
    
    
13. پیدا کردن دامنه ی تابع از روی شکل آن:
    
    اگر شکل تابع در دست باشد، می توان از هر نقطه ی شکل، عمودی بر محور x ها وارد کرد تا برای هر نقطه ی روی شکل نقطه ای متناظربا آن روی محور x ها به دست آید. مجوعه ی نقاط به دست آمده روی محور x ها، همان دامنه است. ارائه ی مثال را به دبیران محترم واگذار می کنیم.
    
    

مثالهای دیگر:

با کلیک کردن روی اینجا یا اینجا بیش از ۲۰ تابع مختلف را مشاهده خواهید کرد که دامنه ی هر یک بدون هیچ توضیحی رو به روی آن نوشته شده است (منظور از D همان دامنه است). به دانش آموزان عزیز اکیداً توصیه می کنم که سعی کنند با توجه به نکات گفته شده در این جلسه، دامنه ها را محاسبه و آنرا با جواب ذکر شده مقایسه کنند. (بعضی از این توابع از کتاب «جبر و آنالیز» استاد گرانقدر «آقای احمد قندهاری» که در سال 1367 منتشر شده، اقتباس گردیده است.)

حل چند مساله از مسائل کتاب:


تمرین ۹ صفحه ی ۱۹:

دامنه ی هر یک از توابع حقیقی زیر را در صورت امکان با استفاده از نماد بازه ها پیدا کنید.

ب)

و)

ز) 

حل مساله:

ب) داخل رادیکال باید از صفر بزرگتر باشد؛ پس از تعیین علامت تابع داخل رادیکال، دامنه، بازه ی خواهد بود.

و) داخل رادیکال باید از صفر بزرگتر یا مساوی باشد؛ بنابراین پس از تعیین علامت تابع داخل رادیکال، دامنه عبارت است از .

ز) اجتماع دامنه های روبه روی سه ضابطه را حساب کنید. بنابر این دامنه عبارت است از R.